Model Matematika

 
           Permasalahan yang Anda hadapi dalam kehidupan sehari-hari adalah masalah nyata, bukan masalah yang langsung berbentuk angka ataupun hitungan-hitungan matematika. Masalah nyata yang akan Anda selesaikan ataupun dicari solusinya, dapat Anda temukan dalam berbagai bidang. Misalnya, dalam menjalani proses produksi pada suatu perusahaan, pastilah tersedia bahan baku, tenaga kerja, mesin, dan sarana produksi lainnya. Seorang pengusaha harus memperhitungkan semua faktor yang ada supaya perusahaannya dapat meminimumkan biaya produksi dan memaksimumkan keuntungan yang diperoleh. Program linear dapat digunakan untuk menyelesaikan masalahmasalah tersebut. Akan tetapi, masalah-masalah tersebut terlebih dahulu harus diterjemahkan ke dalam bahasa matematika sampai ke tingkat yang paling sederhana. Proses menterjemahkan masalah nyata ke dalam bahasa matematika dinamakan pemodelan matematika. Bagan proses pemodelan matematika dapat digambarkan sebagai berikut.

Supaya memahami proses pemodelan matematika tersebut, pelajarilah uraian berikut. Misalkan seorang agen sepeda ingin membeli paling banyak 25 buah sepeda untuk persediaan. Ia ingin membeli sepeda model biasa dengan harga Rp1.200.000,00/buah dan sepeda model sport dengan harga Rp1.600.000,00/buah. Ia mempunyai modal Rp33.600.000,00. Ia berharap memperoleh untung Rp200.000,00 untuk setiap sepeda biasa dan Rp240.000,00 untuk setiap sepeda sport. Jika Anda diminta untuk memodelkan masalah ini, dengan harapan agen sepeda tersebut mendapatkan keuntungan maksimum, dapatkah Anda membantunya? Untuk memodelkan permasalahan tersebut, langkah pertama dimulai dengan melakukan pemisalan.

Pada permasalahan tersebut, ada 2 model sepeda yang ingin dibeli oleh agen, yaitu sepeda biasa dan sepeda sport. Misalkan banyaknya sepeda biasa yang dibeli adalah x buah dan banyaknya sepeda sport yang dibeli adalah y buah. Oleh karena keuntungan yang diharapkan dari sepeda biasa dan sport berturut-turut adalah Rp200.000,00 dan Rp240.000,00 maka keuntungan yang mungkin diperoleh agen tersebut ditentukan oleh z = f(x, y) = 200.000x + 240.000y Fungsi z = f(x, y) tersebut dinamakan sebagai fungsi objektif (fungsi tujuan). Dari permasalahan yang ada, diinginkan untuk memaksimumkan keuntungan yang didasarkan pada kondisi-kondisi yang ada (kendala). Setiap kendala yang ada, bentuknya berupa pertidaksamaan. Fungsi kendala dari permasalahan agen sepeda tersebut ditentukan sebagai berikut:

Banyaknya sepeda yang akan dibeli oleh agen tersebut

x + y ≤ 25

• Besarnya modal yang dimiliki agen sepeda

1.200.000x + 1.600.000y ≤ 33.600.000

15x + 20y ≤ 42

• Banyaknya sepeda yang dibeli tentu tidak mungkin negatif sehingga

nilai x ≥ 0 dan y ≥ 0.

Dengan demikian, terbentuklah model matematika berikut.

z = f(x, y) = 200.00x + 240.000y

Tujuannya memaksimumkan fungsi tujuan yang didasarkan pada kondisi

x + y ≤ 25

15x + 20y ≤ 42

x ≥ 0

y ≥ 0

Contoh Soal:

Suatu lahan parkir memiliki luas 800 m2 dan hanya mampu menampung 64 bus dan mobil. Sebuah mobil menghabiskan tempat 6 m2 dan bus 24 m2. Biaya parkir Rp1.500,00/mobil dan Rp2.500,00/bus. Pemilik lahan parkir mengharapkan penghasilan yang maksimum. Tentukan model matematika dari permasalahan tersebut.

Jawab:

Permasalahan tersebut dapat disusun dalam bentuk tabel seperti berikut.

• Keuntungan yang diharapkan, dipenuhi oleh fungsi tujuan berikut.

   z = f(x, y) = 1.500x + 2.500y

• Banyaknya mobil dan bus yang dapat ditampung di lahan parker tersebut memenuhi    pertidaksamaan x + y ≤ 64

• Luas lahan yang dapat dipakai untuk menampung mobil dan bus memenuhi pertidaksamaan  6x + 24y ≤ 800

• Oleh karena x dan y berturut-turut menyatakan banyaknya mobil dan bus, maka

x ≥ 0 dan y ≥ 0.

Jadi, model matematika dari permasalahan tersebut adalah fungsi tujuan

z = f(x, y) = 1.500x + 2.500y

dengan fungsi kendala

x + y ≤ 64

6x + 24y ≤ 800

x ≥ 0

y ≥ 0

SOAL

1.      Lia ingin membuat puding buah dan es buah. Untuk membuat puding buah, ia membutuhkan 3 kg mangga dan 2 kg melon. Sedangkan untuk membuat es buah, ia membutuhkan 1 kg mangga dan 4 kg melon. Lia memiliki persediaan 11 kg mangga dan 14 kg melon. Buatlah model matematika dari persoalan ini!

2.    Seorang pedagang sepeda ingin membeli sepeda balap dan sepeda motor sebanyak 25 buah untuk persediaan. Harga sebuah sepeda balap Rp1.500.000,00 dan sepeda motor Rp8.000.000,00. Jika modal yang dimiliki Rp100.000.000,00 buatlah model matematika dari permasalahan tersebut.

3.    Ali menjual es krim dalam termos yang paling banyak memuat 500 bungkus. Harga es krim jenis I Rp2.000,00 dan jenis II Rp1.000,00. Jika modal yang tersedia Rp1.100.000,00 dan laba masing-masing jenis es krim Rp200,00 dan Rp250,00 buatlah model matematika untuk permasalahan tersebut.

4.    Makanan A dibuat dari 4 ons tepung dan 2 ons mentega, sedangkan makanan B dibuat dari 3 ons tepung dan 3 ons mentega. Pengusaha makanan mempunyai 6 kg tepung dan 4,5 kg mentega. Jika harga makanan A Rp5.000,00 per buah dan makanan B Rp3.000,00 per buah, tentukan model matematika dari permasalahan tersebut.

1.      Jawab:

Misalkan: x = banyaknya puding buah.

                 y = banyaknya es buah.

Dapat merumuskan kendala-kendala dalam permasalahan ini sebagai berikut.

3x + y  11 … Persamaan 1

2x + 4y  14 … Persamaan 2

x 0 … Persamaan 3

y  0   … Persamaan 4

2.    Misalkan banyaknya sepeda balap yang mungkin dibeli x buah dan sepeda motor y buah, dengan demikian tabel pemodelannya ditunjukkan sebagai berikut.

Model matematika dari permasalahan di atas adalah:

15x + 80y < 1000

x + y < 25

Karena banyak sepeda tidak mungkin negatif maka harus

ditambahkan syarat nonnegatif.

x > 0

y > 0, dengan x, y 􀂏 cacah.

3.    Misalkan banyaknya es krim jenis I yang mungkin dijual x buah dan es krim jenis II y buah. Tabel pemodelannya sebagai

berikut.

Model matematika dari permasalahan di atas adalah:

2000x + 1500y < 1.100.000

x + y < 500

Karena banyak es krim tidak mungkin negatif, maka harus

diberikan syarat bahwa:

x > 0

y > 0,

(syarat nonnegatif)

Dengan fungsi tujuan memaksimumkan 200x + 150y; x, y 􀂏

cacah.